Evaluate: $\int_{0}^{\pi / 2}(2 \log \sin x-\log \sin 2 x) d x$.

CBSE Class 12 · 2010 · Definite IntegralsLong Answer

Evaluate:

\int_{0}^{π /2} (2 lo g sin x - lo g sin 2 x) d x

Answer: $- \frac{π}{2} lo g 2$

Simplify using

sin 2 x = 2 sin x cos x

2 lo g sin x - lo g sin 2 x = 2 lo g sin x - lo g (2 sin x cos x) = lo g \frac{sin x}{cos x} - lo g 2 = lo g tan x - lo g 2

Now

\int_{0}^{π /2} lo g tan x d x = 0

(replacing

x \to \frac{π}{2} - x

turns

lo g tan x

into

lo g cot x = - lo g tan x

I = 0 - lo g 2 \int_{0}^{π /2} d x = - \frac{π}{2} lo g 2

CBSE Class 12 Board · 2010 · Subjective